Umfassender Vergleich von Vorhersagemodellen in der Volatilitätsanalyse

Umfassender Vergleich zwischen den Vorhersagemodellen für Volatilität

Einleitung

Die Vorhersage von Volatilität ist ein entscheidender Aspekt im Risikomanagement und in der Optionen-Bewertung auf den Finanzmärkten. Traditionell waren Modelle wie GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) die bevorzugten Methoden zur Prognose der Volatilität. Diese Modelle basieren auf vergangenen Preisbewegungen und Volatilitätsmustern. Mit dem Aufstieg von maschinellem Lernen (ML) und tiefem Lernen werden diese konventionellen Ansätze jedoch zunehmend von fortschrittlicheren Modellen herausgefordert, die behaupten, nichtlineare Beziehungen und komplexes Marktverhalten besser erfassen zu können.

In dieser zweigeteilten Serie werden wir tief in drei Ansätze eintauchen: GARCH, ML-Modelle und Künstliche Neuronale Netze (KNN) zur Vorhersage von Volatilität. Im ersten Teil konzentrieren wir uns auf die theoretischen Grundlagen dieser Modelle sowie auf die Datenextraktion und -vorbereitung. Der zweite Teil wird sich mit der Implementierung dieser Modelle, der Leistungsbewertung und dem Vergleich ihrer Prognosefähigkeiten befassen.

Volatilität: Historische vs. Implizite Volatilität

Vor der Erörterung der Modelle ist es wichtig, zwischen zwei Schlüsselkategorien der Volatilität zu unterscheiden:

1. Implizite Volatilität (IV): Dies ist zukunftsorientiert und wird aus den Preisen von Optionen abgeleitet. IV spiegelt die Erwartungen des Marktes bezüglich zukünftiger Volatilität wider.

2. Historische Volatilität (HV): Im Gegensatz dazu ist die HV rückblickend und basiert auf den vergangenen Preisbewegungen des Vermögenswerts. Sie misst die tatsächlich beobachtete Volatilität über einen bestimmten Zeitraum.

Mathematische Darstellung der historischen Volatilität

Mathematisch kann die historische Volatilität über einen Zeitraum ( T ) wie folgt ausgedrückt werden:

[
HV = \sqrt{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} (r_t – \bar{r})^2}
]

Dabei ist ( r_t ) die Rendite des Vermögenswerts zum Zeitpunkt ( t ) und ( \bar{r} ) die durchschnittliche Rendite über den Zeitraum.

GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

Das GARCH-Modell ist eines der am häufigsten verwendeten ökonometrischen Modelle zur Vorhersage der Volatilität. Es erweitert das ARCH-Modell, indem es sowohl verzögerte Volatilität als auch verzögerte quadratische Renditen berücksichtigt. Das GARCH-Modell sagt voraus, dass die Volatilität von vorhergehenden Perioden abhängt und ermöglicht es somit, das Phänomen der Volatilitätsclusterung zu erfassen.

GARCH-Formel:
Die Standard-GARCH(1,1)-Formel kann wie folgt beschrieben werden:

[
\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha1 \epsilon{t-1}^2 + \beta1 \sigma{t-1}^2
]

Hierbei steht:

• ( \sigma_t^2 ): die bedingte Varianz (Volatilität)
• ( \epsilon_{t-1}^2 ): der Fehlerterm, der den Schock repräsentiert
• ( \alpha_0, \alpha_1 ) und ( \beta_1 ) sind die Parameter des Modells.

Einschränkungen des GARCH-Modells: GARCH ist effektiv bei der Modellierung von Volatilitätsclustering, hat jedoch Schwierigkeiten, nichtlineare Beziehungen und plötzliche Regimewechsel zu erfassen.

Maschinenlernmodelle zur Volatilitätsvorhersage

Im Gegensatz zu GARCH basieren ML-Modelle nicht auf bestimmten Annahmen über das Marktverhalten. Sie nutzen historische Daten, um Muster zu lernen und zukünftige Volatilität vorherzusagen. Zu den gängigen ML-Methoden zählen Random Forest, XGBoost und Support Vector Machines (SVMs).

Schlüsselaspekte von ML-Modellen:

1. Nichtlinearität: Finanzmärkte bestehen oft aus nichtlinearen Beziehungen. ML-Modelle können diese komplexen Abhängigkeiten erfassen, ohne explizite funktionale Formen zu benötigen.

2. Feature Engineering: In ML-Modellen sind Merkmale wie verzögerte Renditen, Volatilität und makroökonomische Variablen entscheidend.

Beispiel: Random Forest: Random Forest ist ein Ensemble-Ansatz, der eine Sammlung von Entscheidungsbäumen verwendet, um robustere Vorhersagen zu treffen.

Künstliche Neuronale Netze (KNN) zur Volatilitätsvorhersage

KNN, insbesondere Recurrent Neural Networks (RNNs) und Long Short-Term Memory (LSTM)-Modelle, erfreuen sich zunehmender Beliebtheit bei der Vorhersage von Finanzzeitreihen. Diese Modelle sind darauf ausgelegt, zeitliche Abhängigkeiten zu erfassen und eignen sich ideal für die Vorhersage von Volatilität, wo Marktbewegungen über die Zeit hinweg miteinander verbunden sind.

LSTM-Architektur: LSTMs verwenden verschiedene "Gates", um die Informationsflüsse zu regulieren und signifikante Muster in zeitabhängigen Daten zu lernen.

Fazit

Der Vergleich der verschiedenen Modelle – GARCH, ML-Modelle und KNN – zeigt, dass jedes Modell seine eigenen Stärken und Schwächen hat. GARCH ist effektiv bei der Modellierung von Volatilitätsclustering, kann jedoch nicht mit nichtlinearen Beziehungen umgehen. ML-Modelle bieten mehr Flexibilität, während ANNs, insbesondere LSTMs, in der Lage sind, langfristige Abhängigkeiten in Zeitreihendaten zu erfassen. Um fundierte Entscheidungen zu treffen, ist es wichtig, die optimale Methodik zu wählen, basierend auf den spezifischen Anforderungen der Analyse.

Im nächsten Teil werden wir die Daten vorbereitet, unsere Modelle implementieren und ihre Leistungen bewerten, um herauszufinden, welches Modell die genauesten Vorhersagen für die Volatilität liefert.