Die Reduzierung der Dimension von netzwerkförmigen Systemen ist ein wichtiger Bestandteil bei der Modellierung realer komplexer Systeme, wie beispielsweise Pflanzen-Bestäuber-Interaktionen und der Ausbreitung von COVID-19. Dabei werden Interaktionen zwischen Knoten in einem Netzwerk durch Differentialgleichungen formuliert, wobei die Größe des Systems eine Herausforderung darstellen kann. Ein linearer Operator wird verwendet, um das System zu entkoppeln und effizient zu behandeln. Dieser Operator basiert auf einer Adjazenzmatrix, die die Wechselwirkungen zwischen den Knoten kodiert. Anhand dieser Matrix kann die Wechselwirkungsstärke zwischen den Kanten quantifiziert werden, was als Metrik zur Messung der Resilienz von Netzwerken dient.
Das Training eines neuronalen Netzwerks wird als nichtlineares Optimierungsproblem betrachtet, das durch Vorwärts- und Rückwärtspropagation umgesetzt wird. Das Training erfolgt durch die Anpassung der Gewichte der neuronalen Verbindungen basierend auf einem Fehlergradienten. Die dynamischen Prozesse während des Trainings können als Knoten- und Kanten-Dynamiken modelliert werden, wobei die Gradienten der Kostenfunktion die Veränderung der Aktivierungswerte der Knoten und Gewichte der Verbindungen steuern. Durch die Berechnung der Interaktionsstärke zwischen den Gewichten kann die Vorhersagefähigkeit des neuronalen Netzwerks gemessen werden.
Die Methode der Bayesianischen Ridge-Regression wird verwendet, um ein probabilistisches Modell für das lineare Regressionsproblem zu entwickeln. Durch die Einführung einer ℓ2-Regularisierung und uninformative Priors über die Hyperparameter der Modellierung, können die Schätzungen der Gewichte optimiert werden. Dieser Ansatz wird auf die Messung der Performance von neuronalen Netzwerken angewandt, um die Vorhersagegenauigkeit zu bewerten und Schlussfolgerungen für das Modelltraining zu ziehen. Die Anwendung der Bayesianischen Ridge-Regression auf die vorgestellte Metrik ermöglicht es, die Performance von neuronale Netzwerken vorherzusagen und wertvolle Erkenntnisse für das Training zu gewinnen.